東京工業大学 前期 1974年 第2問 (解答解説)

解が絶対値を含む場合

絶対値の解をとすると

であり，(式1)よりの絶対値はである．そこで

とおくと，

とおける．まずの場合を考える．ならばも解なのでつの解は

であり，この時の方程式は

である．

次にの時は(式3)およびの係数が全て実数なことよりも実数である必要があるから，となり，これは先の解と合流する．

そこで以下これ以外の場合を考える． (式3)で全ての係数が実数だから，であることが必要で，

となる． 題意よりもまた解だからこれがのいずれかに等しいから

である．整数を用いて

だから，と合わせてこれを満たすのは

のつである．これら二つは同じ解の組に対応するから，この時の解は

であり，方程式は

となる．(式9),(式16)をまとめて

である．

解が絶対値を含まない時

この時全ての解はの形で表せる． 題意より(式3)で全ての係数が実数だから，は全て実数かまたは一つだけ実数である． 絶対値で実数の数はであるが，このうちは二乗したも解にならなければならない．そうすると残りの解も実数になるがこれは(式1)に矛盾する．

そこでが解になるので，

とおく．残りの解は複素数であり，今までと同様の議論によって，

とおける．よってがこれらのどちらかと等しく，

である．以下(式14)と同様の議論によって

となって，解の組は

である．この時の方程式は

である．