東京工業大学 前期 1975年 第6問 (解答解説)

【解答】

題意の関数

について考える．まずが単調増加であることを示す．

(式1)の両辺を で微分して

である． ここで題意よりが単調増加だから の時 である． よって同区間で積分して

したがって の時(式4)の両辺を で割って，

である． したがって(式3)の右辺は以上だから，である． よって は単調増加であることが示された．

次に

を満たすを求めよう． (式3)に(式6)を代入して

である．とおくと

だから，両辺積分して積分定数をとすると

である．ここに(式6)を代入して

だから(式11)に代入して

である．確かにこの関数はで単調増加であり，に対して与えられた条件(式1)も満たすから十分である． 以上から求める関数は

である．