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東京工業大学 前期 1975年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 1975年 第4問 (解答解説)

📝 問題

曲線 の接線， 曲線 の接線 および軸とで囲まれる3角形の面積の最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意の2接点を ， とする． すると での接線, は より

となる． よって2接線の交点を， の 切片 ， の 切片 とするとこれらの座標は

である． よってグラフは以下のようになる．

点 $P, Q, R, T, U$ の位置関係と三角形 $RTU$（斜線部）

図 1: 点 の位置関係と三角形 （斜線部）

題意の三角形の面積 は図の斜線部の領域である． から 軸への垂足 として(式2)より

である．以下この最大値を求める． AM-GM不等式 から，

等号成立は

だから

より，(式6)に代入して

である．等号成立はの時であり，これは実現可能だから求める面積の最大値はである．

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