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東京工業大学 前期 1968年 解答解説 このページの閲覧数
#整数 #方程式・不等式
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東京工業大学 前期 1968年 第1問 (解答解説)

📝 問題

不等式を満たす自然数のすべての組を求めよ． ただし，とする．

✏️ 解答解説

【解答】

題意の式

を考える．

(式1)の第一式の両辺を でわって

である． 簡単のため とおく． は(式2)の左側の不等号が成立せず不適だから が必要である． (式2)の右側の不等号に(式1)の第二式を用いると

となる．まずはこれを満たすを探す． そのため とおく． より増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

$y=f(x)$の概形．

図 1: の概形．

したがって かつを満たすはのみである．

の時

(式1)にを代入すると

である．(式5)の第一式の右側の不等号にを用いると

である．下図からわかるように，これとを満たすは である．

$y=x^2-4x-1$ のグラフ．$3 \le x < 2+\sqrt{5}$ の範囲にある整数は $x=3, 4$ のみである．

図 2: のグラフ． の範囲にある整数は のみである．

そこでさらに以下この2パターンについて考える．

(I) の時

(式5)にを代入して

だが と矛盾するため不適である．

(II) の時

(式5)にを代入して

とあわせてが必要である． 逆にこの時，(式1)は満たされる．

(式1)にを代入すると

を得る． (式11)の第一式の右側の不等号にを用いると

であり，下図からこれとを満たす はないため不適である．

$y=2x^2-6x-1$ のグラフ．$x > \dfrac{3+\sqrt{11}}{2} (\approx 3.16)$ では常に $y>0$ であり，$x \ge 4$ に解はない．

図 3: のグラフ． では常に であり， に解はない．

以上で全ての場合分けが尽くされた．よって求める答えは

である．

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