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東京工業大学 前期 1965年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 1965年 第6問 (解答解説)

📝 問題

を正の数とし，点より放物線に2本の接線を引く． これらの接線と放物線とで囲まれた部分の面積をとするとき， の最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

2接点 とおく ． での接線は

だから，この交点は である． 題意よりこれが に等しいので

である．

放物線 $y=x^2$ と2本の接線で囲まれた領域 $S(t)$

図 1: 放物線 と2本の接線で囲まれた領域

題意の面積 は

である．以下これをで書き直そう． (式2)から は の2次方程式 の2実解だから とあわせて

と書ける．これを(式4)に代入して

となる．以下この最小値を求める． 簡単のため

とおく． とおいてを書き直して評価すると で

なる評価を得る．等号成立は つまり の時である．

従って(式7)に代入して求める最小値は

である．

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