東京工業大学前期 1965年第3問 (解答解説)

【解答】

題意より

である．新しく

とおくと(式1)の条件は

および

と書ける．このもとでの最大最小を考えれば良い． (式3)の領域を図示すると下図斜線部である．

この領域のに関する対称性および(式4)におけるから，

で考えれば良い．この時(式3)は

となる．

まずの最小値について考える．(式6)で左側の等号が成立する時，すなわちの時， (式6)はでとすれば(式4)を満たす．よって求める最小値はでこの時

である．

次にの最大値について考える．(式6)の区間内ではのとりうる値は区間がを含むかどうかで変化して

の 時 の 時

のふたパターンあるから両方を順番に考える．

(式8)からこの区間ではの値によらずにをからの範囲で自由に決定できる．よって(式4)を満たすが存在するには

であれば良い．この範囲でが最大なのはの時で，この時ゆえである．

(式8)よりの値域はに注意して

である．ただし二行目で倍角公式を用いた． (式4)に代入して

となるが，これを満たすは存在しない．

以上の場合分けおよびについての対称性から，が最大の時である．この時は(式2)より

である．

以上(式7),(式14)から，求めるの組み合わせは

である．