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東京工業大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 1964年 第3問 (解答解説)

📝 問題

図のように，三角形 の内接円よりはじめて， 次々と前の円と外接し， かつ三角形の2辺に接する円を3つの頂点に向かってえがいていく． このとき，三角形内にあるすべての円の面積の総和を， 内接円の半径 と3つの内角 ，， で表わせ． とくに，1辺 の正三角形の場合に，この総和はいくらか．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

内接円の中心 から に下ろした垂足を順に とする. に接する円を内接円から順に とおく. の半径を とすると題意から である． 円 の中心を とおく．この状況は下図のように書ける．

円$C_0$と$C_1$および接点・中心の配置

図 1: 円とおよび接点・中心の配置

三角形$O_nO_{n+1}T_n$の様子

図 2: 三角形の様子

からとと線分の接点を結ぶ直線に向かっておろした垂線の足をとおく． 三角形を考えると，

と書けるから，これをと繰り返し用いて

である.よってを除く全ての の面積和は

と計算できる．

他の2辺に接する円の面積和も(式4)と全く同様にして書けるから，全体の面積和はの面積も考慮して

が求める答えである．

次に が一辺 の正三角形の時, , だから(式6)に代入して

である．

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