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東京工業大学 前期 1963年 解答解説 このページの閲覧数
#平面図形
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東京工業大学 前期 1963年 第3問 (解答解説)

📝 問題

図のように，1辺の長さ2の正方形 の内部に， 対角線の交点 を中心とする半径 の円をえがき， ， に平行なその接線の交点を とする． いま， を中心とする円を，円 との相似の中心が であるようにえがく． このとき，次の問に答えよ．

図 1

図 1

  1. 2円（円 と円 ）が交わるような の値の範囲を求めよ．

  2. 2円が交わるとき，交点を ， とすれば， はどんな範囲にあるか．

✏️ 解答解説

【解答】

となるよう 平面をおく． 円 が の内部だから

である．

座標平面上の正方形$ABCD$の様子．

図 1: 座標平面上の正方形の様子．

まず点の座標を求めよう． これは題意より点とから引いた円の接線だから， この時 となる．二つの円の相似の中心がAだから，AOとAEの比を考えると

だから，円 の半径は

である．よって円の方程式は

である．この様子を以下に示す．

二つの円$O$と$E$の様子．

図 2: 二つの円との様子．

(1)

点が必ず円の外側に来ることを踏まえると，2円が交わる条件は二つの円の距離が半径の差と和の間におさまっていることで

式

が求めるの範囲である．

(2)

対称性から が第2象限にあるとして良い．すると は二つの円の方程式の共有解で

である．

円$E$と円$O$の交点$K, L$および角$\theta$

図 3: 円と円の交点および角

したがってと軸の交点をとすると

円の半径

である．

以下が動いた時の(式13)の値域からの値域を求める． 簡単のため および

とおくと，(1)の結果より

であり，従ってのグラフは以下のようになる．

$y=f(t)$のとりうる範囲．

図 4: のとりうる範囲．

よって である．(式13)に代入して

を得る． 及び が同区間で単調減少なことから

が求めるの範囲である．

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