東京工業大学前期 1963年第5問 (解答解説)

【解答】

題意より

とする．題意の二つの放物線を

とおく．を平方完成すると

である．

まずは二つの放物線の交点の座標を求める．からを消去して

となる．よってグラフの概形は下図のようになる．

二つの放物線の囲む二つの部分の面積を図のようにとおく．は二辺の長さがの長方形の面積からの作る二つの部分の面積を減じたもので，

Unknown environment 'tikzpicture'\begin{align} S_2 = \begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (0,0) rectangle (1,0.7); \end{tikzpicture} - \begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (0,0) -- (1,0) -- (1,0.7); \draw (0,0) parabola (1,0.7); \end{tikzpicture} - \begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (0,0) -- (0,0.7) -- (1,0.7); \draw (0,0) parabola (1,0.7); \end{tikzpicture} \end{align}

となる．各項を計算すると

Unknown environment 'tikzpicture'\begin{align} \begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (0,0) rectangle (1,0.7); \end{tikzpicture}&= \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{a^2} = \dfrac{1}{a^3}\\\begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (0,0) -- (1,0) -- (1,0.7); \draw (0,0) parabola (1,0.7); \end{tikzpicture}&= \int_0^{\frac{1}{a}} x^2 \, dx = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{a^3}\\\begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (0,0) -- (0,0.7) -- (1,0.7); \draw (0,0) parabola (1,0.7); \end{tikzpicture}&= -\int_0^{\frac{1}{a^2}} f(y) \, dy = -\left[\dfrac{a^2}{18}y^3 - \dfrac{7}{12}ay^2 \right]_0^{\frac{1}{a^2}} = \dfrac{19}{36}\dfrac{1}{a^3} \end{align}

だから，(式9)に代入して

を得る．

一方はでのの作る領域の差分だから

Unknown environment 'tikzpicture'\begin{align} S_1 = \begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (1.4,0) -- (0.35,0) arc (-90:-270:0.35) -- (1.4,0.7) -- cycle; \end{tikzpicture} - \begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (-0.2,0.7) -- (1.2,0.7) -- (1.2,0) -- (0,0) -- cycle; \end{tikzpicture} \end{align}

である．の逆関数がであることに注意して各項計算すると

Unknown environment 'tikzpicture'\begin{align} \begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (1.4,0) -- (0.35,0) arc (-90:-270:0.35) -- (1.4,0.7) -- cycle; \end{tikzpicture}&= -\int_{\frac{1}{a^2}}^{\frac{4}{a^2}} f(y) \, dy = -\left[\dfrac{a^2}{18}y^3 - \dfrac{7}{12}ay^2 \right]_{\frac{1}{a^2}}^{\frac{4}{a^2}} = \dfrac{21}{4a^3}\\\begin{tikzpicture}[scale=0.4, baseline=-0.5ex] \draw (-0.2,0.7) -- (1.2,0.7) -- (1.2,0) -- (0,0) -- cycle; \end{tikzpicture}&= -\int_{\frac{1}{a^2}}^{\frac{4}{a^2}}\sqrt{y}\, dy = \left[\dfrac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{1}{a^2}}^{\frac{4}{a^2}} = \dfrac{14}{3a^3} \end{align}

だから，(式14)に代入して

を得る． (式13),(式17)から求める面積比は

である．