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東京工業大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
#方程式・不等式
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東京工業大学 前期 1964年 第2問 (解答解説)

📝 問題

は正数とする．

  1. 次の2つの不等式を証明せよ．

  2. 次の式で与えられるの大小を比較せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

まず二変数の相加相乗平均不等式（AM-GM）を示す．

両辺正だから二乗してよく

式

である．よって(式1)は成立し，等号成立は の時である．

次に題意の二つ目の不等式，のAM-GMを示す． として(式1)に代入すると

式

となり示された．等号成立はすなわちの時である．

最後に題意の一つ目の不等式，のAM-GMを示す． (式6)に を代入すると

両辺正だから4乗して整理すると

となり示された．等号成立はの時である．

(2)

まずの大小を比較する．に(式1)を用いて

である．

次にの大小を比較する．に(式10)を用いて

である．

最後にの大小を比較する．(式6)より

である．

以上(式15),(式20),(式21)から

である．

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