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東京工業大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 1964年 第1問 (解答解説)

📝 問題

，，は条件，，を満たしながら変化する． とおくとき，次の問に答えよ．

  1. となることがあるか．

  2. を一定にしたとき，の最大値をで表わせ．

  3. の最大値を求めよ．

  4. のどんな値に対してもを満たす，が存在するようなの最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

以下

で考える．

(1)

題意の時

が成り立つ．これを仮定すると，(式1)から

となり矛盾．よって背理法により となることはない.

(2)

よりであるから，を固定してが最大になるのはを最大，を最小にとった時．よって

である．

(3)

(式4)でを動かした時の最大値が求めるの最大値である．(式4)を変形すると

だからこれは(式1)の範囲でについて単調減少で，はの時に

となる．

(4)

(2)と同様にが一定の時のの最小値はが最大，を最小にした時で

である．は連続だから，との間は全て取る．よってが一定の時にがとりうる範囲は

である．

これを平面に図示すると の存在範囲は下図斜線部（境界含む）だから, もとめる は である.

$zw$平面上の$zw$の存在領域．

図 1: 平面上のの存在領域．

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