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東京工業大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
#微分
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東京工業大学 前期 1964年 第4問 (解答解説)

📝 問題

図は を中心とする四分円であって，， である． いま，動点 が円弧に沿って から まで進み，さらに から まで直進する． ところが， の弧 上での速さは 2，線分 上での速さは 1 である． この路に沿っての から までの所要時間が最小となるような点 の位置を定めよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

題意の状況と点$A, Q, B$の様子．

図 1: 題意の状況と点の様子．

図のように とおく. この時, かかる時間 は

である.ここで弧は半径，角度だから

である． 一方での長さについては に余弦定理を用いて

である．

よって(式2),(式6)を(式1)に代入して

だから，この最小値を求めれば良い． 一階微分を計算すると

だから，この正負を決める条件は

である． より両辺 以上だから2乗して,

となるのでの増減表は下表のようになる．

表 1: の増減表

したがって, もとめる の位置は, となる場所である.

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