東京大学 後期 2006年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

問題文ではとして与えられているが，ここではに拡張して考える． この時

と定義すればも定義できる．

さて，題意をについての帰納法で示す． まず の時 とすれば題意は成立する．

そこで以下 とし， の時に題意が成立すると仮定する． を 通りで表すと

だから，整理して

を得る．

仮定より， は 次多項式なのでの最高次は第一項目である． よっては次多項式であり，題意は でも成立する．

以上より数学的帰納法によって題意は示された．(答)

(2)

及び(式8)から帰納的に であるから， 題意の条件式

はに限らず で成立する．

したがって，

\text{"(1)が $x$ に関する恒等式"}

\text{“階差をとった}

が に関する恒等式”

である． なぜならばとするとでの成立から階差を取る前の式が成立し， 以下帰納的にで成立する． が多項式だから与えられた式が恒等式になるからである．

この両辺は の多項式だから，(式10) が 以上の自然数 のときに成立することが必要十分である．

(式10)の左辺に関しては

と表せる．

一方(式10)の右辺に関しては二項展開すると

である．

以上(式12),(式13)を(式10)に代入して

となる．従って，次の係数を比較する．この時だから

となる．(答)

(3)

(2) と同じく，

は で成立するから，(式19)の階差をとった

が 2 以上の自然数 で成立すれば良い． 左辺はを用いて簡単にできて，

となる． 左辺が偶数冪のみからなるから，右辺もそうならないといけない． 左辺第一項は偶数次だから，残りの第二・第三項が偶数冪である． 従って

が偶数冪である．二項定理で展開すると

で，これが偶数冪のみからなる条件は

である． これを(式23)に代入して

を得る．右辺の各項は二項定理で展開して

だから(式29)に代入すると

となる． 両辺での項を係数比較すると，

である．ここで二項係数の性質から

だから代入して

である． 以上から

である． (答)

(4)

とする． に対して，

が成立することを についての帰納法で示す．

の時は，

で成立する．

そこで以下 として， で(式41)の成立を仮定する． (2) の両辺を で微分して，

となるが(3)の結果より，これはに等しい，すなわち

である． さらに整理して

だから左辺の和はからに変更できて

ここで，(2)(3)の結果よりだから，仮定と合わせて

と和の部分は左右でキャンセルするので

となる．だから

となり，でも題意は成立する．

以上から数学的帰納法により，任意の以上の奇数について題意が成立することが示された． (答)

【解説】