東京大学 後期 2006年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意の媒介変数表示を

とおく．一回微分は

だから，の時

である．(答)

(2)

の時はより不適なので，以下として考える． （1）より，となる時，

である．(式1)に代入して

だから，求める座標は

である．(答)

(3)

の表現に(式1)を代入して

を得る．第一式よりだから，第二式に代入して

という放物線である．(答)

(4)

(3) の変換を とおく． を で をみたす角とおくと，

だから，は

である．すなわち， は曲線 を原点中心に だけ回転させる変換である．

したがって(3) から， は放物線 を原点中心に だけ回転させた曲線である． の頂点での接線の傾きは であり，放物線の異なる2点における接線は平行ではないこと及び (2) から， の頂点はAである．

以下，グラフの概形のためにいくつか特徴のある点を求める．

1. に対応する点は , ．

2. に対応する点は , ．

3. に対応する点は ．

4. に対応する点は ．

以上を踏まえて，の概形は

(答)

【解説】