東京大学 後期 2005年 第1問 (解答解説)
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線分
の長さを ， の長さを とすると， が成立することを示せ． -
， それぞれの場合について， を を用いてあらわせ． -
関数
は で微分可能であることを示し，そのグラフの概形を描け．また， の最大値を求めよ．
【解答】
(1)
図 1: 三角形OPQと点ABの様子
線分
である．
である．
ここで，
である．題意の条件より
である．よって題意は示された．
(2)
を得る．
そこで，新しく
である．
以下，(式10)のもとでの
を満たすことに注意すると，以下の二つの場合わけが必要になる．
\textbf{
図 2:
であることに注意すると，
だから，(式14)から
であり，
である．
\textbf{
図 3:
だから，(式14)から
であり，
である．
である．
(3)
より，左右極限が一致し，さらに
以下，
とおくと，(2)から
だから，
だから，
表 1:
したがって，
である．
図 4:
【解説】
(2)
(2) の (1) 以外
から，
図 5:
(以下略)