東京大学 後期 2005年 第1問 (問題)

平面の原点をとして，点，をとる．ただし，とする．点は線分上を，また点は線分上を動き，線分はの面積を二等分しているとする．このような線分で最も短いものの長さをとおき，これをの関数と考えてと表す．

1. 線分の長さを，の長さをとすると，が成立することを示せ．

2. ，それぞれの場合について，をを用いてあらわせ．

3. 関数はで微分可能であることを示し，そのグラフの概形を描け．また，の最大値を求めよ．