東京大学 後期 2005年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

との円のの値域に注意して場合分けすると

である． (答)

(2)

は連続的に変化するので，場合分けの各区間内では微分可能であり

である．(答)

(3)

(2)の結果より，ではだから，の最大値は

で取る．

次にの時を考える．

とおくと，(2)の結果より

である． 一方では変形して

と書けるから，は偶関数でありかつで単調増加である．

従って，で

である．すなわちこの区間では単調増加である．

よっての最大値は

でとる．この時(2)から

である．この区間では単調減少，は単調増加だから， 全体としては単調減少である． これと端点で

より， なるが唯1つあって，の増減表は表1となる．

よってで最大であるから，これをみたす4次式をつくれば良い． より

両辺 以上だから2乗してよく

である． の時 だから両辺 以上だから2乗して

この方程式は四次係数がでそれ以下の係数も全て整数であり，題意の条件を満たす． よってをで置き換えて求める四次方程式は

である． (答)

(4)

として(式21)に代入して

は解でないので両辺で割って

である． とおいて代入すると，

が求める二次方程式である． (答)

(5)

及びより，

である． (3)より求めるはに存在するが，この領域ではである．

は(式26)の解で

だが，より複号負を採用して

である． 両辺にをかけて整理すると

を得る． より複号正を採用して，求めるは

である．(答)

【解説】