東京大学 後期 2004年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

およびがでの接点であることから，はB上の点 ，又は での接線である． これら二つの接線を順にとすると

と求まる．

これらの接線との交点は，二つの方程式を連立して求めることができる． の方程式は

だから，(式3)と連立してを消去すると

だから，対応して座標はの方程式に代入すると

まずの場合を考えると，両辺で割って

である． ついでの場合，(式7)に代入してであり，この時(式3),(式4)からである． よってこの場合も(式13)の表現で良い．

以上より求めるとの交点は

である． (答)

(2)

との交点をとする． 題意のうち の部分は軸，およびPの軌跡で囲まれた部分である． この体積をとしてもとめる体積は軸に関する対称性から

である．ただし最後のはDおよびEの面積である．

(1)の結果からはを用いて

と表せ，一階微分は

となる．

また，考えるべきの範囲について考える．まずである． がB上の点になる時，がBの中心を通るから(式4)にを代入して

である．

次にが軸上にある時つまりの時，(式16)より である．

以上から

の範囲で考えれば良い．

(式16),(式18)より，この範囲でであるから の増減表は表1となる．

したがって，の軌跡の概形は図4のようになる．

斜線部の面積がである．図から

となるから，各項計算していく．

まず第一項目は

と展開できるから，各項計算して

を(式29)に代入して

を得る．

次に(式24)の第二，第三項について

を得る．

(式40),(式42)を(式24)に代入して

だから，(式15)に代入して求める面積は

である．(答)

【解説】

非通過領域についての論述を解答ではさらっとで済ませた． 後段の積分計算がそこそこ重いので前段はこれくらいで良いかとは思うが， 一応ある程度厳密にやろうとすれば，以下のような議論をすれば良いだろう．

1. 対称性から第1象限で考える．右図の部分のみかんがえれば良い．

2. Pのキセキは[解]での考察から右下図のようになる．

   1. ①の部分は正方形を，Aで接するようにした状態から平行移動して通過しうる．

   2. ②の部分も同様

   3. ③の部分は，右下図で P, P’ (座標が同じ)に対し，A,Bへ接線を引き S, S’, T, T’を定めると，

      となるので，P’は通りえない．

3. 又，正方形の一辺が2であることとあわせて，[解]の部分が非通過領域である．