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東京大学 後期 2004年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 後期 2004年 第1問 (解答解説)

📝 問題

は正の実数とし，角はを満たすとする．平面の原点を，をとして，点を以下の条件(a)，(b)，(c)がに対して満たされるようにとる．

  3. 点は同一直線上にある．

このとき次の問に答えよ．

  1. をを用いてあらわせ．

  2. 点の座標をとする．複素数をを用いてあらわせ．

  3. 数列，がともに収束するための必要十分条件はであることを証明せよ．

以下とする．極限値，をそれぞれの関数と考えて，，とおく．

  1. 極限値，をそれぞれ求めよ．

  2. におけるの最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

原点を$P_0$とする$xy$平面に，$P_1(1,0)$を配置する．

図 1: 原点をとする平面に，を配置する．

軸を軸, 軸を軸とする複素平面で考え, を表す複素数を と表す． また，

と置く． すると実数数列 と があって

と表すことができる．

条件(a)から

であって，初期条件 から, 等比数列の公式から

である．

三角形$P_n P_{n+1} P_{n+2}$の様子．

図 2: 三角形の様子．

次に(b)及び(c)から, は図2のようになって， を2通りで表して

である． より

である．

(2)

図2から から へは常に一定の角度だけ回転している． よって は以下のいずれか一方をみたす．

また，初期条件は だから

である．

(1)の結果および(式2)から

である．

したがっての表す点の複素数 として

である．(答)

(3)

(2)よりが収束する必要十分条件は

である．(答)

(4)

(3)の条件のもとで，(2)のの極限値は

だから，実部が，虚部がであって

と書ける． での極限は

である．(答)

(5)

の範囲ではの複合正は正の値をとり，複合負は負の値を取る． 従って，が最大になるのは複合正の方である． そこでこれをと置く．

である． この後半の分数は，単位円上の点 と 点 との傾きを表すから，図より

である．右側の等号成立の条件は図で直線と円が接する時である．

単位円上の点 $(\cos 2\theta, \sin 2\theta)\, \left(\dfrac{2}{3}\pi < 2\theta < \pi\right)$と点 $\left(-\dfrac{5}{4}, 0\right)$ との傾き

図 3: 単位円上の点 と点 との傾き

単位円上の点 $(\cos 2\theta, \sin 2\theta)\, \left(\dfrac{2}{3}\pi < 2\theta < \pi\right)$と点 $\left(-\dfrac{5}{4}, 0\right)$ との傾きが最大となる時の様子．

図 4: 単位円上の点 と点 との傾きが最大となる時の様子．

従って，

である．よって最大値は

である．

【解説】

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