東京大学 後期 2003年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

関数およびを

とおく． で , を示せば良い． 以下 とする．

まずについて考える． 一階，二階微分は

より，より は単調増加であって

となる． したがって も単調増加で，

である．よって題意の下側の不等式は示された．

次にについて考える．一階，二階微分は

となる．ここで式を見比べるとだから，

となり，は単調増加で

を満たす． 従っても単調増加で

である．よって題意の右側の不等式が示された．

以上より題意は示された．(答)

(2)

まず，の不定積分は積分定数として

で与えられることに注意する．

立体の体積 とすると

である．

(a) 題意の条件及び が を軸に対称なことから， から までが個に分割されたうちの一つの部分である． よって

が成り立つ．

平均値の定理から， をみたす で

を満たすものが存在する． (式15)に代入して

である． の時であり，従ってはさみうちの定理から では だから，

が求める極限値である．(答)

(b) 題意よりの領域が個に分割されたうちの一つの部分であるから

である．

ここで だから，(1) の不等式にを代入して

である． (式27)に代入して

である．ここで，のときだから，が十分大きい時

が成り立つ．このもとで変形を続けると

を得る． より両辺にをかけると

となる．

の値によっての挙動がどう変化するかを調べる．

\textbf{ア: の時}

で だから，(式34) の左辺，右辺共に に収束するからはさみうちの定理より

である．

\textbf{イ: の時}

(式34) の左辺が発散するから，追い出しの定理より

\textbf{ウ: の時}

で だから (式34) の両辺共に に収束する． 従って挟み撃ちの定理より

である．

以上の場合わけで全ての場合が尽くされた． よって求めるの値とその時のの収束値は

である．(答)

【解説】