東京大学 後期 2003年 第2問 (問題)

，，，を自然数とする．ただしは自然数ではないとする．このとき次の問に答えよ．

1. 自然数に対してある整数，があってと表せることを示せ．ただしはより小さい整数のうちで最大のものを表す．

2. 平面において，座標および座標がともに整数であるような点を格子点という．このとき，直線との距離が以下で座標が以上であるような格子点がそんざいすることを示せ．

3. 双曲線の上の点と格子点で，線分の長さが以下であるようなものが存在することを示せ．

4. ，，として(3)の条件を満たすような格子点を一つ求めよ．すなわち，格子点であって，双曲線の上の点を適当にとればの長さをいかにすることができるようなものを一つ求めよ．ただしを用いてよい．