東京大学 後期 2003年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

以下

なる整数が任意のについて存在することを数学的帰納法で示す．

まずの時は

とすればよく題意は成立する．

そこででの成立を仮定すると，について

だから，

となり，仮定よりこれらは整数である．よってでも成立する．

以上から，数学的帰納法によって任意の自然数に対して整数の存在が証明された． 従って

ととることで題意は示された．(答)

(2)

第一象限にある格子点を考えると，この点との距離は

である．

よって，題意を示すには，任意の自然数に対してかつを満たすようなの存在が示せれば良い．

ここで，について，(式2)からだから， 漸化式(式5)よりはが奇数の時のみ正，はが偶数の時のみ正である． そこで新しく

とおくと初期条件は

で，漸化式は

となり，任意の自然数に対してである．

そこで，格子点をととることを考える． この時任意の自然数に対してを満たす自然数があることを示す．

まず，が単調増加であることを示す． が自然数でないことよりだから，漸化式より

を得る．よっては単調増加で，

と評価できるから，この不等式を繰り返し持ちいれば

であり，の極限で発散する．

従って，任意の自然数に対して十分大きいある自然数をとって，

を満たすようにできる．

次に，点と直線の距離について，(式8)より

である．ただし最終行で(式1)を用いた． ここでこの分子について

だから，で

であり，任意の自然数に対して十分大きな自然数を取れば

とできる．

以上より，なる自然数を選べば， 格子点が題意の条件を満たす．(答)

(3)

双曲線

の漸近線は

である．

格子点，上の点，漸近線上の点を

と取ることを考える．

(2)より，十分大きなを取れば

を満たすようにできる．ここで(2)のとは分母の係数分異なるが，議論は全く同じである．

次に

について，(2)よりが単調増加で発散するから，は単調に減少しに収束する． 従って十分大きいを取れば

とできる．

以上から，とすると，三角不等式および(式29),(式32)より

である．よって題意は示された．(答)

(4)

だから，(式10),(式11)から

および

である．漸化式を繰り返し用いて，

となる． 対応して(3)のように定めた線分の長さは

となる．よって

は題意の条件を満たす．(答)

【解説】