東京大学後期 2002年第2問 (解答解説)

空間において次のような3つの互いに合同な長方形を考える．

ここでとする．このとき次の間に答えよ．

の面積，およびと原点との距離を求めよ．
四面体および四面体の体積をそれぞれ求めよ．
の12頂点から3点を選び三角形をつくる．このときまたはと合同な三角形が20個えられる．これらの三角形で囲まれる立体をとする．なるに対して

とおくときの体積をの関数として表せ．
においては最大値をとることを示し，そのときのの値を求めよ．

【解答】

三角形の面積公式を用いる．三角形をなすベクトルは

だから，これらの内積は

であり，三角形の面積は

である．ただし，よりであることを用いた．

次に，平面の法線ベクトルの一つに

があるから，O からこの平面への垂線 H として，正射影ベクトルを考えると

である．ただし最終行でより絶対値を外した．

以上まとめて

である．(答)

まず四面体については(1)から，

四 面 体

である．

一方四面体は，三角形が平面にあってこの面積がであり，三角形を底面と見るならへの高さはだから，

四 面 体 面 積

である．

以上まとめて

四 面 体 四 面 体

である．(答)

題意のように三角形を作る時，と合同な三角形が個，に合同な三角形が個出来るから，立体の体積は，四面体の体積個と四面体の体積個分に等しい．従って（2）の結果から

四 面 体 四 面 体

である．ここにを代入して，とすると，

である．ここでより

を代入して

が求める体積である．(答)

をとおき，増減表を書くことで最大値を求める．

だからから自然対数をとって，

である．両辺をで微分して

だから，となる時，この分子がで

となる．従っての増減表は表1となる．

表 1: の増減表．

したがって，の時は最大値をとる．(答)

の時，立体は正二十面体になる．正二十面体は黄金比を用いて，

に頂点を置いたものである．