東京大学 後期 2002年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

関数のグラフは図1である．

従って，を解くとグラフより

である．(答)

(2)

題意を満たす，すなわちとなる場合を考える． まず，前者の場合は

である． 後者の場合は

である． 以上まとめて，求める初期値は

である．(答)

(3)

において, となる は, で表現できること（）を帰納的に示す. (2)から では成立するので, 以下 での成立を仮定し, でも成立することを示す.

として，数列を考えると， 仮定よりとなるの条件は

であり，この時は

となるから，はでも成立する．

以上から数学的帰納法により，任意の以上の自然数についてが成立する． の時のは，を動かした時にこの表現に含まれるから別で考慮する必要はなく， 求める条件は

である．(答)

(4)

背理法によって題意を示す． が (3) の条件をみたさない値で, かつ任意の に対して だと仮定する.

の時，漸化式は だから, ならばくり返し用いて となる自然数 が必ず存在する. 一方で，なる自然数に対しては，仮定よりだから常に

であり，漸化式は

が用いられる． よってに対して漸化式を解くと

である．仮定から なので,

となりに矛盾する． したがって背理法により必ずとなるが存在することが示された.(答)

(5)

(3)より， が (3) の条件をみたすことと なる が存在することは同値である． また, は の恒等写像だから，

が成り立つ.

以下, が (3) の条件をみたさない時をかんがえる. この時. （4）から なる が存在し， 漸化式から となる． この後 とみなして で新しく数列 を定めると， は (3) の条件をみたさないので再び なる がある． 以下同様の操作が無限にくりかえされるから は収束しない．

以上から，求める必要十分条件は，初項が

と表されることである.(答)

【解説】