東京大学後期 2001年第3問 (解答解説)

【解答】

の部分集合を

によって定める．

以下，

とおく．題意より

とおいて良い．だからは下に凸である．

は二次の係数が正の二次関数だから，のの部分はとすれば区間内で単調増加として良い．

ここで一般に連続，微分可能，単調増加かつ下に凸な関数のの部分の軸への正射影の長さを , 軸への正射影の長さをとして，区間内での平均変化率を

とおく．

さて(式3)よりだから，の間には個の整数で区切られた区間

が存在する．対応して各区間において，の角度の範囲は

のようにずつ回転するから，各区間にに含まれる部分の割合は

である．

以上の考察からの範囲に含まれるの範囲は

である．これがのグラフにおいて，の部分の軸への正射影の長さに他ならない．従って，このの区間におけるの平均変化率を

と定義しよう．

は下に凸だから，においてはは単調増加なので

が成り立つ．(式13)を代入してが十分大きい時に注意して

となる．

ここにおよび(式12)を代入して

を得る．の極限を取ると

だから，挟み撃ちの定理より

である．(答)