東京大学後期 2000年第3問 (解答解説)

背番号 1 から 5 までを順に付けた 5 人が, 何も置かれていないテーブルに向かっている. 最初 5 人は各自 3 枚のコインを持っている. それを背番号順に必ず 1 枚または 2 枚テーブルの上に置いてゆく. ただし, 手もとに 2 枚以上のコインがあるときに 1 枚だけコインを置く確率をとし, は人によらず一定とする.

背番号 5 の人が置き終わったところ (一巡目が終わったところ) で, 再び背番号 1 の人から順に手もとに残ったコインをテーブルに置いてゆく.

一巡目が終わったとき, テーブルの上に 7 枚のコインが置かれている確率を求めよ. また, そのを最大にするの値と, そのときのの値を求めよ.
一巡目を終えるとき, 背番号 5 の人が, テーブルの上に 7 枚目のコインを置く確率を求めよ. また, そのを最大にするの値を求めよ.
二巡目が終わったときのテーブルの上のコインの数の期待値を求めよ.

【解答】

背番号の人が順目に出すコインの数をとおく．

(1)

となるとき，はかである．のうちの数，の数とおくと，

だから，これを解いてである．このようになる確率は

である．(答)

次に，を最大にするを求める．だから，相加相乗平均の不等式より

である．等号成立は

の時である．

以上から，を最大にするのはで，この時である． (答)

(2)

一巡目で五人目が枚目のコインをおくのは，(1)の場合に加えて「4人が枚コインをおき，5人目が2枚コインを出す．」場合の確率を加えたものである．

このようになる確率は，（1）と同様にして四人のうち二人が一枚だけ出すので

である．従って求める確率は，

である．(答)

次にを最大にするを求めるため，の一階微分を計算すると

だから，の増減表は表1となる．

表 1: の増減表

したがって，

の時には最大になる．(答)

(3)

の人が1巡目と2巡目で出す合計のコインの枚数を確率変数とすると，二巡が終わった段階の全コインの枚数は

である．各人がコインを出す事象は独立かつそれぞれ対称だから，期待値の公式より

である．よってを求めれば良い．の取りうる値はであって，となるのは一巡目も二巡目も枚出した場合でその確率は

である．次にとなるのは，一巡目に，二巡目に枚出した（またはその逆）場合で

だから，期待値は

となる．(式22)に代入して求める期待値は

である．(答)

【解説】

(1)は計算を楽にするために相加相乗平均の不等式を用いた．このような形では頻出の応用テクニックだ．

一方，普通に増減表を書いて求めることもできるので，ここでそのパターンを紹介しておこう．の一階微分は

だから増減表は下表となる．

表 2: の増減表

したがってを最大にするのはであり，答案と一致した結果を得る．

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【解答】

(1)

(2)

(3)

【解説】