東京大学後期 1999年第3問 (解答解説)

座標平面上にある3つの四角形とが相似であるとは，対応する4つの頂点における内角がそれぞれ等しく，かつ対応する辺の長さの比がすべて等しいこととする．このとき，

と書く．ただし，四角形と書くときには，4つの頂点は図のように反時計回りに並んでいるものとし，また四角形は周および内部を込めて考えるものとする．

四角形が与えられたとき，この四角形から出発して，任意の整数に対して四角形を以下のように帰納的に定める．

(I)　のときは，与えられた四角形とする．
(II)　のときは，四角形まで定まったとして，四角形を
$かつ$
となる四角形として定める．
(III)　のときは，と負の向きに進んで，四角形まで定まったとして，四角形を
$かつ$
となる四角形として定める．

こうして定まった四角形をと書くことにする．

さて，座標平面上の点

を与える．原点をとし，線分上に原点以外の1点をとる．点から線分に平行に引いた直線と，線分との交点をとする．このようにして定まる四角形から出発して，上記のようにして得られる四角形の系列

について考える．

を求めよ．
線分上のある点を与え，それにより定まる四角形から出発して，四角形の系列を作ったところ，ある0でない整数が存在して，となったという．このとき，点の座標を求めよ．また，となる整数の値をすべて求めよ．
線分上のある点を与え，それにより定まる四角形から出発して，四角形の系列を作ったところ，これらの四角形が座標平面において原点を除いた部分を，辺と頂点以外には互いに重なることなく，すき間なくおおったという．このような性質をもつ点をすべて求め，それらの座標を記せ．またそれらの場合のおのおのについて，点がに含まれるような整数の値をすべて求めよ．

【解答】

(1)

四角形$A_nB_nC_nD_n$と$A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}D_{n+1}$の様子 — 図 1: 四角形との様子

与えられた座標の情報を用いて，に余弦定理を適用すると

である．点はいずれも第一章限にあってだから，

である．(答)

(2)

点が線分上にあるから，とおける．

この時とがの相似であることから，とおける．

すると，四角形の辺の長さについて

となる．

の定義から，との相似比はに等しく

である．

題意のようになるがあるとき，まずはこれらの大きさが等しいことが必要であって，相似比がであることが必要だから

である．よってこの時

となる．

逆にこの時任意のが合同だから

②

が成り立ち，軸と線分のなす角度として

と書ける．の時がとなる時だから，求めるの条件は

である．(答)

(3)

題意の条件より，任意のに対してが相似である．従って，任意のに対してが等しく，(2)と同様

が成り立つ．

従って，の座標は，実数列を用いて

と書ける． (2)で求めた相似比(式8)より

と書けるから，のもとでこの漸化式を解いて

と求まる．以上より，はで同じのものをグループとして点Oから始まる異なる半直線上にならぶ．

題意のように四角形が平面を敷き詰める時，半直線, にはさまれた領域に図3のようにが詰まることが従って必要となる．

半直線$OB_0$, $OP$にはさまれた領域に$K_n$がしき詰まっている様子． — 図 3: 半直線, にはさまれた領域にがしき詰まっている様子．

図でとなりあうの相似比は

である．の相似比がこれに等しいことが必要である． (式21)より，この条件は

となる．この時対応するの座標は

である．逆にこの時，は図のように平面を敷き詰めるから十分である． (答)

$t=2^{-\frac{1}{4}}$ の時，$K_n$が$xy$平面にしき詰まっている様子． — 図 4: の時，が平面にしき詰まっている様子．

次に，点について考える．この点は直線上にあって，またである．二つのの値についてそれぞれ調べる．いずれの場合も，が直線上に存在するのは(式21)よりがの倍数の時である．従って，との位置関係を調べればQを含むがわかる．

\textbf{1° の時}

(式21)より

は単調増加で，

である．従って求めるは図よりである．

\textbf{2° の時}

(式21)より

は単調減少で，

である．従って求めるは図よりである．

以上まとめて，求めるおよびを含むは

の 時 ， の 時 ，

である．(答)

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東京大学後期 1999年第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

(2)

(3)

【解説】