東京大学 後期 1999年 第3問 (問題)

座標平面上にある3つの四角形 と が相似であるとは，対応する4つの頂点における内角がそれぞれ等しく，かつ対応する辺の長さの比がすべて等しいこととする．このとき，

と書く．ただし，四角形 と書くときには，4つの頂点 は図のように反時計回りに並んでいるものとし，また四角形は周および内部を込めて考えるものとする．

四角形が与えられたとき，この四角形から出発して，任意の整数に対して四角形を以下のように帰納的に定める．

1. (I)　のときは，与えられた四角形とする．

2. (II)　のときは，四角形まで定まったとして，四角形を

   となる四角形として定める．

3. (III)　のときは， と負の向きに進んで，四角形まで定まったとして，四角形を

   となる四角形として定める．

こうして定まった四角形をと書くことにする．

さて，座標平面上の点

を与える．原点をとし，線分上に原点以外の1点をとる．点から線分に平行に引いた直線と，線分との交点をとする．このようにして定まる四角形から出発して，上記のようにして得られる四角形の系列

について考える．

1. を求めよ．

2. 線分上のある点を与え，それにより定まる四角形から出発して，四角形の系列を作ったところ，ある0でない整数が存在して，となったという．このとき，点の座標を求めよ．また，となる整数の値をすべて求めよ．

3. 線分上のある点を与え，それにより定まる四角形から出発して，四角形の系列を作ったところ，これらの四角形が座標平面において原点を除いた部分を，辺と頂点以外には互いに重なることなく，すき間なくおおったという．このような性質をもつ点をすべて求め，それらの座標を記せ．またそれらの場合のおのおのについて，点がに含まれるような整数の値をすべて求めよ．