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東京大学 後期 1999年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 後期 1999年 第1問 (解答解説)

📝 問題

  1. を正の整数とする． の範囲において

    とおくことにより定義される関数 が， で連続となるように定数 の値を定めよ．

  2. を 等を用いて表せることを示し，定積分

    の値を求めよ．

  3. 任意の正の整数 に対して，定積分

    の値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

の時，

だから，両辺の極限を取ると，

である．(答)

（2） 三倍角の公式より

だからの時，両辺で割って

である．の時だからこの表現で良い． よって求める積分値は

である．(答)

（3） 分かりやすさのため

とおく．加法定理および積和公式より

だから，の時両辺をで割ることで

である．の連続性より，の時もこの表現で良い．

両辺を で積分して，(式13)より

である． （3）より だから漸化式を繰り返し用いることで， 任意の自然数について

である． (答)

【解説】

(1)は以下のように，少し手間だが数学的帰納法によっても示せる． 数学的帰納法により，

であることを示す．

まず，のとき，

より

である．

次に，での(式22)の成立を仮定する． 加法定理より

だから，の時両辺で割って，

である．の極限を取ると，

だが，仮定よりだから

となる．がで連続であるから

である．従って(式22)はでも成立する．

以上から，数学的帰納法により任意の自然数について

である． (答)

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