東京大学 後期 1999年 第2問 (問題)

座標平面上の原点を とする．また， 座標および 座標がともに整数であるような点を格子点という．

1. を正の実数とする．点 を通り，傾きが の直線と単位円 との 以外の交点を とする． の座標を求めよ．つぎに， を満たす2つの実数 に対し，線分 の長さを求めよ．

2. とし，

   とおく．もし がともに有理数ならば，線分 の長さもまた有理数となることを示せ．

3. 任意に与えられた3以上の整数 に対し，つぎの条件 (C1), (C2), (C3) をすべて満たす 個の異なる点 が，座標平面上に存在することを証明せよ．

   1. (C1)　 はすべて格子点である．

   2. (C2)　 のどの異なる3点も一直線上にない．

   3. (C3)　 のどの異なる2点 に対しても，線分 の長さは整数である．