東京大学後期 1999年第2問 (解答解説)

座標平面上の原点をとする．また，座標および座標がともに整数であるような点を格子点という．

を正の実数とする．点を通り，傾きがの直線と単位円との以外の交点をとする．の座標を求めよ．つぎに，を満たす2つの実数に対し，線分の長さを求めよ．
とし，

とおく．もしがともに有理数ならば，線分の長さもまた有理数となることを示せ．
任意に与えられた3以上の整数に対し，つぎの条件 (C1), (C2), (C3) をすべて満たす個の異なる点が，座標平面上に存在することを証明せよ．
1. (C1)　はすべて格子点である．
2. (C2)　のどの異なる3点も一直線上にない．
3. (C3)　のどの異なる2点に対しても，線分の長さは整数である．

【解答】

点 P を通り，傾きがの直線は

だから，これと円の交点の座標はを消去して

より

である．従って座標はとなり，求める交点は

である．

次に，線分の長さを求める．新しく傾きに対して

とおくと，(式8)およびの倍角公式

より

だから，線分の長さの二乗は

である．ここにを代入して

だから，，より両辺ルートを取って

である． (答)

題意より，，である． (式16)をで書き直して半角公式を用いると

である．だから, より

である．(式11)より，これをで表すと

だから，が有理数ならもまた有理数である．(答)

（3）自然数がをとるとして，直線の傾きがの場合を考える．この時の対応するをとする，すなわち

とする．すると(式8)よりの座標は

である．これらはに対して全て異なる点である．次に(式25)より，に対しての長さは

である． (式28),(式29)に(式26)を代入して

であり，の座標および線分の長さは全て有理数である．

従って，に対して全てのの分母，およびに対しての全ての分母の積をとすると，であり，点を

によって定めれば，は全て相異なる格子点であり（C1），かつに対してである（C3）．さらに，は全て円上にあるから，どの相異なる三点も同一直線上には存在しない（C2）．

以上より，実際に条件(C1)，(C2)，(C3)を満たす点が存在することが示された．(答)