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東京大学 後期 1998年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 後期 1998年 第2問 (解答解説)

📝 問題

パラメータ に対して の関数 を考える.

  1. が等式

    を満たしているとき, を の関数として表せ.

  2. 式 を満たしながら を動かしたとき, における のグラフは 平面上を動く. これらのグラフが動く範囲 を求め, 図示せよ.

  3. 図形 の面積を求めよ.

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

(E)を変形して，

である．ここに

を代入して各項計算すると

だから，(式1)に代入すると

を得る．(答)

(2)

まず，パラメータの範囲

に(1)のを代入すると，

の範囲では常に成立している．

そこで，(式13)のもとで

の軌跡を求めれば良い． 積和公式から

であり, を固定して を動かすと，(式13)より

である．

$2\theta+x$の存在する領域．

図 1: の存在する領域．

を動かした時のこの領域は図1の斜線部（境界含む）だから，の最大最小を考えて

である．各点計算すると

だから，求める領域は

となり，図示すると図2の斜線部(境界含む)である． (答)

求める領域は斜線部（教会含む）．

図 2: 求める領域は斜線部（教会含む）．

(3)

求める面積として, 図より

である．三角関数の対称性を用いて積分区間を変形すると

だから，各項積分すると

だから，(式22)に代入して

である． (答)

【解説】

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