東京大学 後期 1998年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

の方程式は

で与えられる．

点 Q が円 上を動き, 点 R が円 上を動くとき， をみたす によって， , と書ける． この時 とおいて，の軌跡を求める． まず，

と書ける．

三角形QRSが二等辺三角形になる条件より，

であるが，(式2)より

が従う．

(式3)と比較して

を得る．ただし複合同順である．

複合正の時，はドーナツ型の領域

の内部を動く．

複合負の時，はドーナツ型の領域

の内部を動く．

以上二つの領域をまとめると

であり，図示して図1の斜線部分(境界線含む)となる． (答)

(2)

(1)の領域の境界の円の方程式は複合任意で

の合計四つである．

が一意に定まる，つまり が一意に定まるような の軌跡は， (1)の領域の境界(式12)である．

したがって，(式11)の領域と円 がただ1つ共有点を持つ（この時の共有点は(式12)上になる）ように円の中心 を定めればよい．

ここで(式12)の四つの円のうち，中心をとする二つの円

について，題意の直線

との距離は点と直線の距離公式より

であり，これはとこれらの円の半径の合計

よりも大きいから，これらの円とが交点を持つことはない．

従って，残りのを中心とする二つの円

について考える．は点Eを通る直線だから，この二つの円は図2のように直線と合計つの交点を持つ． これらを座標の小さい順にA，B，C，Dとおく．

上の点を中心とする円がと唯一交点を持つのは

1. 点BまたはCでとが内接する

2. 点AまたはDでとが外接する

二つのパターンである．

又は で が内接する時

だから，この時，他の交点は存在せず条件に適する． よって， からの距離が ，すなわちEからの距離が

となるような 上の点がであり，

だから，求めるは

である（複合同順）．

又は で が外接する時

この時，他の交点は存在せず条件に適する． よって， からの距離が ，すなわちEからの距離が

となるような 上の点がであり，

より

となる（複合同順）．

以上で全ての場合が尽くされ，求める点は複号同順として

の四つである．(答)

【解説】