東京大学 後期 1997年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

Aとおく． のでの接点を とする． ただし

である．

この時，だから，D，Eでの接線の方程式は

と書ける．

従ってこの接線と軸の交点がB，Cなので

である．

また，Aは二つの接線の交点だから，(式2)を連立しては

と求まる．この時は

となり，結局Aの座標は

と表せる．

従っての面積は

である．以下，点Aが動いた時ののとりうる範囲を求める．

題意よりDが線分AB上に存在することから，座標に注目して，

に注意して

である． 同様にEが線分AC上に存在することから，

より

である．

以上から，(式19),(式23)の条件のもとで(式15)のとりうる範囲を求める． 新しく

とおくと，

である．後ろ二つの不等式からのとりうる範囲は

である．これはを満たす．

この時，の一階微分は

だから，の増減表は表1となる．

ここで

だから，求めるのとりうる範囲は

である．(答)

(2)

三角形をなすベクトルについて

だから，サラスの公式より，の面積として

である． (1)と同様の変数変換を用いると

を得る．この(式27)のもとでのとりうる値を求めれば良い．

新しく

とおくと，

であり，の一階微分は

である．よりだから，の増減表は表2となる．

従って，求めるのとりうる範囲は

である．(答)

【解説】