東京大学 後期 1997年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

および 4桁以下の非負整数 を用いて

とおく.

の時，およびである． この時，二回の試行で同じ数が出る時を考える． の時は発生した数と表示される数は全て一対一対応しているから， 一回目の試行で出た数字をとすると，二回目の試行でもが出ないとならない． 従って求める確率は

である． (答)

(2)

およびの時を考える． この時，ある数字が表示される確率は

であるから，確率は

となる．(式2)から，の時もこの表現で良い．

従って，とについて，とすると

だから，

である． また，差(式8)を有効数字桁で計算すると

である．(答)

(3)

の場合，の場合については，(1)と同様に考えると

である．

一方の場合，について考える． この時

だから，(式6)は

と書ける．そこでをで置き換えた関数

を考える． 一階微分は

だから，の増減表は表1となる．

(式15)も考慮すると，はで最大値をとる． 従っての最大値はかでとる． ここで

より，の最大値はの時で，

となる．

次に最小値については，のいずれかで取る． (式15)よりとの時はは同じ値を取る． 一方の時は，とおくと

で，これとの比較は

より，の方が小さく，これが最小値である．

以上まとめて

である． (答)

(4)

一般のについて考える．の時，ある数字が表示される確率は

だから，

となる．

の時は

だから，この場合もこの表現で良い．

ここでとおくとより

を得る．

ここでより，第二項は非負だから，

と評価できる．

同様に，この関数はについて単調減少だからの場合が最大であり， (3)からこの場合の最大値がだから，

である．

以上まとめて

である．よって題意は示された．(答)

【解説】