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東京大学 後期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 後期 1996年 第3問 (解答解説)

📝 問題

直円柱形の石油タンクが，図のように側面の一母線で水平な地面と接する形に横倒 しになり，地面と接する一点に穴があいて石油が流出しはじめた．倒壊前の石油タンクは 一杯で，時間後の現在までに半分の石油が流出した．単位時間当りの流出量は穴から 測った油面の高さの平方根に比例するという．微分方程式をたてて，このあと何時間何分 で全部の石油が流出するか予測せよ．ただし，分末満は切り捨てよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

タンクの様子

図 1: タンクの様子

タンクの半径, 長さ, 流出開始をとして， 時刻における水面の高さ, 水面の面積, 流出速度とする． 題意から は 比例 定数として

とおける．

一方流出する水に関して

が成り立つ．

高さ$h$での円の切断線

図 2: 高さでの円の切断線

さらに，タンクの高さでの切断面は奥行き，幅

の長方形だから

である．

(式1),(式4)を(式2)に代入して

という微分方程式を得る．

両辺で割って整理して

だから，積分して

ただし，は初期条件による定数である．

初期条件は で だから， が従う．

さらに題意の条件よりでだから

⑤

であるから

になる時の をもとめるため を代入すると

である．

よって，現在からになるまでの時間は

である．

ここで

だから，(式14)に代入して

時間分時間分

である．従って，1分以下を切り捨てて

時間分

である．(答)

【解説】

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