東京大学後期 1996年第2問 (解答解説)

【解答】

まず四面体を座標空間に配置することを考える．中点連結定理から，

であり，3辺の長さが等しいことから

である．

また，三角形ABCが鋭角三角形であることから

が成り立つ．

ここで，座標空間において， 8点，，，，，，，を考える．ただしとする．これら8点は辺の長さが $，，$ の直方体を形成する．面の対角線の長さについて

だから，四面体の4面は全て合同な三角形である．

従って

となるようを設定し，を，を，を，をでおきかえて考えれば良い． (式3)から必ずこのようなが存在する．

この時， $②$

この座標系で考えると，，の中点Pは

であり，，の中点Qは

だから，線分PQの長さは(式6)から

である． (答)

四面体の体積Vは立方体O’A’C’B’D’E’F’G’の体積からまわりの4つの三角錐の体積を引いたものである．よって

である．(式6)を代入して

である．(答)