東京大学後期 1996年第1問 (解答解説)

を正の整数とし，個のボールをつの箱に分けて入れる問題を考える．ただし，個のボールも入らない箱があってもよいものとする．以下に述べるつの場合について，それぞれ相異なる入れ方の総数を求めよ．

【解答】

1つの玉がどの箱に入るか考えて通りである．(答)

個のボールと, 本のしきりのならべ方を考えて

通りである．(答)

以下のように場合分けして考える．

1つの箱にしか玉が入らない

この場合は通りである．

それ以外の場合

全ての箱を区別すると，の場合を除いて通りである．従って，箱の区別をなくすと，で割れば

通りである．

以上二つの場合で全てが尽くされ，求める場合の数は

通りである．(答)

3つの箱の内の玉の数をとおくと，題意より

である．対称性から

として良い．ここで

を み た す 通 り を み た す 通 り を み た す 通 り

とおくと，箱の区別をした場合，は一倍，は三倍，は六倍の場合の数があるから， (2)から

である．

さて，の場合は明らかに一通りで

である．

次には

の合計通りで

従って，(式8),(式10)を(式7)に代入して

なので, もとめる場合の数は(式8),(式10)と合わせて，

である．ここでを代入して

通りである．(答)