東京大学 後期 1995年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

二項係数の性質から

である．

(式1)から

を得る． についても同様に

だから，以上をまとめて

である．(答)

(2)

の時は

である．

(1)の漸化式(式14)を全て足し合わせると

である．

(式15),(式16)から一般項として

を得る．

漸化式(式14)からを消去すると

だから，第一式を第二式に代入すると

を得る． 新しく

とおいて代入すると

である．特性方程式

の解は複合同順として

である．これは

とおくと

を満たす．

さて，(式21)を変形して

となる． ただし定数は

を満たす．

初期条件はだから，だから等比数列の公式から

となり，(式30)を代入して

である． 辺々引いて整理すると

となる． (式20)に代入して

との一般項が求まる．

次にについて，(式18)にこの結果を代入して，の時

である．もこの表式で良い．

最後にについて，(式17)にこの結果を代入して

を得る．

以上まとめて，

である．(答)

(3)

(2)の結果にを代入する．(式24)から

であることを用いて次数を下げると，

と求まる．(答)

【解説】