東京大学 後期 1995年 第3問 (解答解説)
1から13まで，それぞれ違った数字が書かれたカードが1枚ずつ13枚ある．このカードを使って，
-
と は最初に2枚ずつカードを持つ．相手のカードの数字は見えない． -
まず，
が1枚のカードを数字が見えるようにして出し， はそれを見て1枚のカードを出す．数字の大きいカードを出した者が1点を得る． -
次に，残りのカードを出しあって，数字の大きいカードを出した者が1点を得る．
-
この際，
と はおのおのの得点が最大となるようにカードを出すものとする．
-
カードが配られた後，
は手持ちのカードのうち，数字の大きいものを最初に出した方が有利か，不利か，あるいはどちらを出しても同じか． -
, に無作為に2枚ずつカードを配った場合， の得る点数の期待値を求めよ． -
はカードの数字の合計が14となるような2枚のカードを最初に選んで持っているものとする． は残りのカードから無作為に2枚のカードを選んでゲームを行なう．この場合， ははじめにどのようにカードを選べば の得る点数の期待値が最大となるか，また最小となるか．それぞれの場合の得点の期待値を求めよ．
【解答】
(1)
A, B の手持ちの 2 枚を
この大小関係は以下の
さて，Bが得点を最大化するような戦略は以下のようなものである．
《ルール》
-
Aが出した札に勝つ札を持っている時, そのうち最も小さい札を出す.
-
Aが出した札に勝つ札がない時, 最も小さい札を出す.
したがって, たとえば iv の場合, Aが
-
で 1 点 -
で 1 点
のようになる. 他の場合も同様にして考えると, iからvi での A の得点は 1 枚目に出す札によらず, 以下のようになる.
| 各 | i | ii | iii | iv | v | vi |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 得点 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 |
表 1: 持っているカードと，Aの得点の一覧表
従って，Aはどちらのカードを出しても得点は変わらない．
(2)
A，Bに無作為にカードを配った場合， 各パターンになる確率は
である．
(3)
| i | ii | iii | iv | v | vi | 合計 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 9 | 9 | 1 | 0 | |||
| 1 | 14 | 14 | 4 | 1 | |||
| 15 | 15 | 9 | |||||
| 12 | 12 | 16 | |||||
| 5 | 0 | 5 | 25 |
表 2:
したがって 表1 の得点表とあわせて,
各々のパターンの時のAの得点の期待値は表3のようになる．
ここで，
| 期待値 |
表 3:
したがって，求める期待値の最大最小は
-
最小
の時. -
最大
の時.
である．