東京大学 後期 1994年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

1週間(6日)以内に作業が完了するのは以下の時である．

日数	場合	確率
3日	第一，二工程ともに失敗せず完了
5日	第一工程が成功，第二工程が一回失敗
6日	第一工程が失敗し二度目のトライで成功

したがって求める確率はこれらの和で

である．(答)

(2)

製造工程において，検査が終わってから次の検査が終わるまでを一回の作業とまとめて考える． 製造工程の状態は以下の3つに分けることができる．

1. A　第一工程が終わっていない状態

2. B　第一工程が終わっているが第二工程が終わっていない状態

3. P　製造が完了した状態

Aの状態は3日間で一回の作業が完了し，A，B，Pの三つのいずれかに遷移する． Bの状態は2日間で一回の作業が完了し，BまたはPに遷移する．

以上の考察をベースに，新しく二つの確率を導入する．

1. 　週目までに第一工程が終わらない確率

2. 　週目までに第一工程は終了しているが第二工程が終わらない確率

ただし，については一週間で作業が完了していない（検査前）状態も含むとする．

の方は，1週間に2回作業が行われ，いずれも第一工程で失敗する（第二工程の成否は問わない）ことから

である．

また，で全ての事象を尽くすから

が成り立つ．

次にについて考える．週目での状態の場合，週目で作業が完了する確率は

である．

週目での状態の場合，月曜日が検査の場合と第二工程の場合がありうるが，いずれの場合も週目には最大回検査が行われる． 従って，週目で工事が完了するのは，三回とも第二工程に失敗している場合の排反事象を考えて

である．

	月	火	水	木	金	土
1	検査	第二	検査	第二	検査	第二
2	第二	検査	第二	検査	第二	検査

以上からは

を満たす． (式2),(式3),(式4)を代入してを消去すると

となる．この漸化式を変形して

の形にすることを考えると，係数比較して

とすればよく，

を得る．初期条件は(式2)で与えられているから，漸化式を繰り返し用いての時

である．の時もこの表現で良いから，求めるの一般項は

である．(答)

(3)

新しく

とおく．(2)の結果を代入して

だから，ここにを代入して

を得る． はについて単調減少で，の時

だから，題意の条件を満たすにはが必要である．

そこでの時を考えると

となり，題意の条件を満たす．

以上から，求める最小のは

である．(答)

【解説】

(2)についてはいくつかの別解があるので紹介する． まず，漸化式は最初の一周目について考えることで別の立て方ができるのでこちらから見ていこう．

週目までに工事が終了しているのは第1週目で終わっている時と，1週目で終わらない場合である． 前者の確率はである． 以下後者について調べる． まず第1週目で終わらないことから一週目での過程は以下のいずれかである．

1. 　 (確率 , 6日かかる)

2. 　 (確率 , 6日かかる)

3. 　 (確率 , 5日かかる)

の時は第2週目から再び同じことのくり返しで週目までに終了する確率はである． の時は排反事象を考える．1週間でBは3回行われることから，週目までに終了する確率は，回の試行全てで失敗する以外ならば良いのでである． の時もと同様排反事象を考える．1週間でBは3回行われることから，週以内で終わる確率はである． 以上からはこれらの場合の足し合わせで，

と書ける．以下は普通に漸化式を解けば良いが，面白いことに解答と異なる形の漸化式になっている．

しかし，以下これを解けば全く同じ一般項が出てくることを確かめよう． 漸化式を変形すると

だから，漸化式を繰り返し用いて，初期条件(式2)を代入すると

となり，同じ一般項を得た．

この方法は(本質的にやっていることは同じだが)をおかなくて良い分出てきやすい発想かもしれない． いずれにしても，漸化式を立てる時は最初の一回か最後の一回に着目するという原則を思い出すことができる．

他の別解として，以下のように漸化式を立てずとも解けるが，かなり計算量が多くなる． 参考までに示すが漸化式の計算コストの低さを体感できるだろう．