東京大学 後期 1993年 第3問 (解答解説)

【解答】

平面で切断してかんがえる． 対称性から球の中心は軸上にある． そこで，円の中心をPとして，この円Cを

とかける．元の水面の高さはだから求める値は

である．

円の半径に応じて，以下の3パターンの場合がありうる． 一つ目は円が大きくてで放物線の容器と交わる場合である． 二つ目は円と放物線がで二つの接点を持つ場合である． 最後に三つ目は円と放物線がでのみ接点を持つ場合である．

まずについて考える． でのとの接点Qの座標をとすると，これら二曲線のでの接線が一致するので，から

が成立する．

また，CがQを通る条件から

である．対称性から円は放物線とのみで共通点を持たないといけないから， (式7)が実数解として重解のみを持てば良い．

\textbf{ の時}

(式5)を満たすはのみである． (式7)に代入して

で，からである． この時のようになる． 求めるは

である．

\textbf{ の時}

(式5)から

である．

の時は(式7)が成立するためにはが必要だが， この時(式7)は

となり，に加えて重解でないを解にもち不適である．

そこで，である．まず，であることから

である．

(式7)に代入して

であることが必要である．この時(式14)より

である．

逆にこの時，(式7)は

となってについて重解のみを持ち十分である． 従って求める値は

である．

最後に，の場合について考える． この時(式14)より，円の中心の座標が

であって，また円がを通るから

である．の条件(式27)からの条件は

である．

この時円と放物線を連立した(式7)は

だから，交点はである． の時であるから，に他の交点は存在せず十分である． 以上からは

以上三つの場合わけ(式9),(式26),(式36)をまとめて，をの関数として表すと

である．(答)

(2)

あふれ出る水の体積は平面でとCの共通部分Tとして， Tを軸まわりに回転した立体の体積に等しい． 円の上端の座標は

で，これが4より大きいかで場合分けする．

だから，各場合わけは以下のようになる．

\textbf{㋐ の時}

は球の体積に等しく

であり，これはについて単調増加である．

\textbf{㋑ の時}

Tの概形は図4の斜線部である． 従って

である．

ここで(1)から

であるから，の一階微分は

である． 従っての増減表は表1となる．

したがってが最大になるのは

の時である．(答)

【解説】