東京大学 後期 1992年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

に関する数学的帰納法で題意(とおく)を示す．

\textbf{ の時}

の時 であり，ならばあまりはである． またの時はあまりは自身である． よっては成立する．

\textbf{ での成立を仮定}

でのの成立を仮定して，での成立を示す． 仮定から，適当な多項式があって，

と書ける． だから，(式1)を代入して

である． 従って，をで割ったあまりは，をで割ったあまりに等しい． であることに注意する．

のとき，をで割ったあまりは自身である．

の時はであるから，で割った余りはである．

以上から，いずれの場合もが成り立つ． よってでもは成立する．

以上から，数学的帰納法によって，任意の自然数についてが成立する．(答)

(2)

新しく

とおくと，

を満たす． 題意の式

について，が多項式だから，で成り立てばでも成立する． そこでとして，両辺にをかけると

(式12)がについての恒等式だから次数を比較すると

である．ただし組み合わせについては順不同である．

(式15)において，が自然数ゆえとなることはないから，

である．それぞれの場合について検討する．

1 の時

， が必要で，共に(式13),(式14)をみたして十分．

2 の時

(式15)から， が必要で，共に(式13),(式14)をみたして十分．

以上から，求める組み合わせは

である．(答)

【解説】