東京大学 後期 1992年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意の関数

とおく．

がでを満たす，つまり

を満たすような最大の実数を求める． のもとで両辺二乗して

の時はこの不等式は成立する． そこでの時を考えて両辺でわると

これが なる任意の でなりたつ． はでの下限値がだから， 求める条件は

である．

従って求めるの最大値は

である．(答)

(2)

(1)から，は常にの下側にあって，グラフの概形は図1のようになる．

従って求める体積は，

である． 各項計算すると，まず第一，二項は

である． 次に最終項はと置換して，だから

である． (式14),(式19)を(式12)に代入して，求める体積は

である．(答)

(3)

とおくと， の時， である． (2) から，をを使って書き直すと，

となる． の極限を取って，

である．(答)

【解説】