東京大学 後期 1991年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意の関数を

とおくと，一階微分は

だから，増減表は表1となる．

従って，グラフの概形は以下．(答)

(2)

より， の両辺の自然対数をとって，

である． (1)のグラフと より，対称性からまず として考えると

が必要である． (式4)に代入して

である． はこの解であり，グラフより解は唯一存在するから，のみが解である． 従っての時も考えて求める解は

である．(答)

(3)

背理法で示す． を有理数として とする． をみたす ( は互いに素) があると仮定する． 両辺自然対数をとると

だから，(1)のグラフから，

が必要である．

一方で にを代入すると

ここでとは互いに素だから と仮定するとこの式は

となり矛盾する． 従って であり， となる． この時(式9)より， が必要である． しかしこれは(2)の結果(式7) に矛盾する．

以上より背理法によって， をみたす正の有理数は のみであることが示された． (答)

【解説】

解答中でであることを用いた．自然対数の値は

である．これは「船人，ヤツは一発梯子（ふなびと，やつはいっぱつはしご）」という語呂合わせで値を覚えておくと良い．

流石に不要だと思うが念の為の評価をその場で導出できるよう簡単な証明も紹介しよう． かなり緩い評価なので，に対する台形近似を利用する． の領域の面積は

である． を上側から評価すると，が下に凸だから図のような台形で上側を抑えられて

である．

同様に下側からの評価はでの接線で形作られる台形で抑えられて

である．

以上より

で，それぞれとくと

となり，の簡単な評価が得られる．