東京大学 後期 1990年 第1問 (解答解説)

【解答】

まずはPの存在する領域を求める．そのために排反事象である 「点を通って， の面積をとに切り分けるような直線を引くことができる」 ような点の領域を求める．

以下の2パターンを考えれば良い．

1. が隣り合う二辺を通る．

2. が向かい合う二辺を通る．

対称性から，前者の代表として 「1. OA,OCを通る」 場合を，後者の代表として 「2. OC,ABを通る」 ものを調べる．あとはこうして求めた領域に平行移動，回転等の操作をすることによっての領域を求める．

1. OA,OCを通る時（隣り合う二辺）

の切片，切片を，とおく．ただし

とする． この時，三角形OSTの面積は以下なので，これがになれば条件を満たす． よって

である． この元で直線

の通過領域を求める．

以下を消去して計算を進める． (式3)からだからの方程式は

であり，(式1)よりのとりうる値は

である．

(式6)の(式9)の元での最大最小を求めればよい． の時はであり，の時は

だから，図2より

が求めるの存在領域である．この様子を図3に示す．

2. OC,ABを通る時（向かい合う二辺）

とOC,ABの交点を各々,とする． ただし

である． この時，Qのうちの下側の部分の面積は，

である．

対称性から

の時のみ考える．

この時題意の条件は

である． 直線の方程式は

とかける．

以下を消去して計算を進める． (式16)を(式13),(式17)に代入して

であるからの時はである． の時ははの一次関数で

となる．この様子を図5に示す．

対称性から他のパターンについても考えると，図6の斜線部（境界含む）がの存在領域である．

従って，が存在しない部分がの存在領域であり，図示すると図7となる．

以上で点Pの存在領域がもとまったので，以下その面積を求める． 対称性から，のうちの領域の面積の4倍がであるから

と求まる．(答)

【解説】