東京大学後期 1990年第3問 (解答解説)

\newcommand{\drawTriangle}[3]{ \draw (#1) — (#2) — (#3) — cycle; }

\newcommand{\recursiveTriangleQTwo}[4]{ \ifnum#4=0 \drawTriangle{#1}{#2}{#3}; \else \path let \p1 = (#1), \p2 = (#2), \p3 = (#3) in coordinate (MAB2) at () coordinate (MBC2) at () coordinate (MCA2) at (); \drawTriangle{#1}{#2}{#3}; \drawTriangle{MAB2}{MBC2}{MCA2}; \fi }

\newcommand{\recursiveTriangleQThree}[3]{ \path let \p1 = (#1), \p2 = (#2), \p3 = (#3) in coordinate (MAB3) at () coordinate (MBC3) at () coordinate (MCA3) at (); \drawTriangle{#1}{#2}{#3}; \drawTriangle{MAB3}{MBC3}{MCA3}; \recursiveTriangleQTwo{#1}{MAB3}{MCA3}{1} \recursiveTriangleQTwo{MAB3}{#2}{MBC3}{1} \recursiveTriangleQTwo{MCA3}{MBC3}{#3}{1} }

\newcommand{\recursiveTriangleQFour}[3]{ \path let \p1 = (#1), \p2 = (#2), \p3 = (#3) in coordinate (MAB4) at () coordinate (MBC4) at () coordinate (MCA4) at (); \drawTriangle{#1}{#2}{#3}; \drawTriangle{MAB4}{MBC4}{MCA4}; \recursiveTriangleQThree{#1}{MAB4}{MCA4} \recursiveTriangleQThree{MAB4}{#2}{MBC4} \recursiveTriangleQThree{MCA4}{MBC4}{#3} }

長さ1の線分をつなげてできる右のような平面上の図形を考える．

に対し，図形の左端の点を , 右端の点を , 上端の点をとする．

は一辺の長さが1の正三角形の周である．は図のように，を3つつなげてできる図形である．

と同じ図形を3つ用意し，それらをとする．に対し，の左端の点を , 右端の点を , 上端の点をとしたとき，は，がそれぞれ同一の点になるようにおいてできる図形である．

において，から線分の上を通り，一度通った点は二度通らずにまで行く行き方を考える．この行き方のうち，途中を通らない場合の個数をとし，途中を通る場合の個数をとする．容易にわかるように，である．

を求めよ．
をを用いて表せ．また，をを用いて表せ．
を求めよ．

【解答】

\newcommand{\drawTriangle}[3]{ \draw (#1) — (#2) — (#3) — cycle; }

(1)

まずについて，を通る時，からを経由してに行くルートだから，

の3通りである．よってである．

一方について，を通らない時はパターンを列挙すると

からへ移動する場合
からへ移動する場合

の合計通りなのでである．

以上まとめて

(答)

(2)

まずをもとめる．すなわちを通らない時はパターンを考える．これは以下のように場合分けできる．

　をから脱出する
　をから脱出する

の時

を出た後は内を通ってへ行く．よってを脱出するのに通り，さらにを通るのに通りで，合計

通りである．

の時

を出たあと，を経由して内を通ってへ行く．この時，内を通過中，を通るか否かで場合分けして考える．

（ア）　内を通過中にを通る時．

を通過中，を通ることができないことに注意すると，対称性から，が通り，が通り，が通りある．よってあわせて通りである．
（イ）　を通過中，を通らない時．

（ア）と同様に考えて通りある．

以上から

である．

次に，をもとめる．これはと行く経路のみである．の時と同様に，を通るかどうかで場合分けして考える．を通る場合は通り，通らない場合は通りだから，

である．

以上まとめて

である．(答)

(3)

(2)の漸化式でとして，(1)の結果を代入すれば

より

である．

(答)

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東京大学後期 1990年第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

(2)

(3)

【解説】