東京大学 後期 1991年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

とおく()． に余弦定理を用いて

である．

三角形APR，APB，PBQの面積は

だから，五角形ARPQBの面積はこれら3つの面積の和で

である．

よって(式11)の元での(式1)のとりうる範囲を求めれば良い． (式1)を(式11)に代入してだけを残すと

となる．これをと置く．

ここでとすると，まずはの2次方程式 の をみたす 2実解(重解含む)だから

である．

また，(式1)をで書き換えると

である．

(式16),(式17)を図示すると下図太線部(境界含む)だから

となる．

(式14)はについての一次式だから，とりうる範囲はより

である．

ここで

だから，

となる．(答)

(2)

がを満たして動く時のの範囲を求めれば良い． そこで，の上限下限を表す関数を

とする．

の概形を求めるため，一階微分を計算すると

だから，を かつをみたすようにとって の増減表は表1となる．

したがってはで最大である． この時だから

である．

よってSのとりうる領域は図3の斜線部である(境界は実線部含む．白点は含まず．)．

が求めるの範囲である．(答)

【解説】