東京大学 後期 1991年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

xy平面で考える．

とおいて一般性を失わない．に対しての中心をと置く． にあるとの交点をA，にあるものをBとおく．

が2交点を持つので

である．

A，から軸に下ろした垂線の足をH，Rとすると，題意を示すには

を示せば良い．

と, との交点の1つをP，Qとする． 題意より三角形とは直角三角形であり，三平方の定理から

である．

点の情報について，同様に直角三角形，にも三平方の定理を用いて

である．(式7)を代入して右辺を書き直すと

二つの式を引いて

を得る．

一方で，点については直角三角形，にも三平方の定理を用いて

二つの式を引いて

である．

以上(式11),(式15)からすなわちだから， 題意は示され，の中心は直線AB上に存在する．(答)

(2)

のx軸に関する対称性からの中心がにあるとして良い． よってとする．

新しく，とおくと，(1)よりであること(式7)より

である．

また点A，Bの座標は

である．

ここで，円の方程式は

とおける． 点についてならばこの点はの外側， ならばの内側になる．

実際に点A，Bの座標を代入すると

だから，確かに点Aは円の内側にあり，Bは円の外側にある． よって題意は示された．(答)

【解説】