東京大学 後期 1992年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

を軸, を平面, Bを原点とし, がになるように空間座標をおく． とのなす角をとおく． からに下ろした垂足をとし，その座標をC’()とする．

とおくと，

とおける．

さらに A() () とおくと，の長さは

と書ける．

さて，とおいてに余弦定理を用いると

と書ける．

の変化によっては変化しないから，

と書ける．

従って，では単調減少で，から はの単調減少関数である． とあわせてはの単調増加関数である． よって題意は示された．(答)

(2)

どの点が同一直線上にあるかで場合分けして考える．

1° A,B,C,Dが同一直線上の時

対称性から図2の時だけ考える．

だから与式は成立する．

2° AからDのうち3つが同一直線上の時

対称性から図の時だけ考える．

だから与式は成立する．

3° どの3点も同一直線上にない時

直線ACをLとしてLを共通の境界とし，角で交わる 2半平面, 上のLと異なる所に各々点B, Dをとることが出来る．

この時点(B,C,D), (A,B,D)に(1)の議論を用いることが出来る． まず平面上でA,B,C,Dを固定してをで動かす． この時 , は一定で，(1)から , はの単調増加関数だから はで最大値をとる． この時4点A,B,C,Dはどの3点も同一直線上にないことから四角形ABCDを構成する． この時直線ACに関してB, Dが反対側にあることから各点の関係は図5のようになる．

よって条件をみたすもとでA〜Dをうごかしても，四角形の内角の和はで一定だから

よって与式は成立する．

以上1°〜3°で全ての場合は尽くされ，題意は示された．(答)

【解説】